Comment rédiger une démonstration

Au lycée, on ne te demande pas seulement de trouver le résultat : on te demande de montrer pourquoi il est vrai, étape par étape. C'est la compétence Raisonner. Cette page t'explique ce qu'est une démonstration et te donne les structures de rédaction les plus utiles, avec un exemple pour chacune.

Démonstration, explication, calcul : quelle différence ?

Un calcul répond à « combien ? » : tu appliques une méthode et tu obtiens un nombre.
Une explication dit « voilà comment j'ai fait » : elle raconte ta démarche, mais sans garantir que le résultat est vrai dans tous les cas.
Une démonstration prouve qu'une affirmation est vraie toujours, à partir des hypothèses et de propriétés déjà établies. Chaque étape découle logiquement de la précédente.

Une bonne démonstration se lit comme une chaîne d'affirmations reliées par des connecteurs : « Soit… », « On a… », « D'où… », « Donc… », « Par conséquent… », « Conclusion :… ». Une affirmation par ligne : c'est plus clair pour toi comme pour ton correcteur.

La compétence « Raisonner »

Le Ministère évalue six compétences en mathématiques. Raisonner, c'est savoir conduire un raisonnement logique : distinguer une hypothèse d'une conclusion, enchaîner des implications, et choisir la bonne forme de preuve.

Quand ton correcteur lit une démonstration, il regarde :

que les hypothèses de départ sont posées explicitement ;
que chaque étape découle de la précédente (pas de saut) ;
que la conclusion répond bien à la question posée ;
qu'une démarche correcte est valorisée même si le calcul final comporte une erreur (le raisonnement compte autant que le résultat).

Les structures ci-dessous sont celles des guides « Raisonnement » d'Eduscol (Ministère de l'Éducation nationale).

Les structures de démonstration

Voici les formes les plus utiles. Pendant une session, le bouton ⊢ à côté de la zone de saisie te propose celles qui correspondent à ton niveau : clique pour insérer l'amorce.

Démonstration directe

Quand l'utiliser : le cas le plus courant : on part des hypothèses et on déduit la conclusion, étape par étape.

Amorce : « Soit … On a … Donc … »

Montrer que la somme de deux entiers pairs est paire :

Soit $a = 2k$ et $b = 2k'$ deux entiers pairs. On a $a + b = 2k + 2k' = 2(k + k')$ . Donc $a + b$ est un multiple de $2$ , c'est-à-dire pair.

Raisonnement par l'absurde

Quand l'utiliser : quand supposer le contraire de ce qu'on veut prouver mène à une contradiction.

Amorce : « Procédons par l'absurde. Supposons que … »

Montrer qu'il n'existe pas de plus petit nombre réel strictement positif :

Procédons par l'absurde. Supposons qu'il existe un plus petit réel strictement positif $x$ . Alors $\dfrac{x}{2}$ est strictement positif et $\dfrac{x}{2} < x$ , ce qui contredit que $x$ soit le plus petit. Donc un tel nombre n'existe pas.

Raisonnement par contraposée

Quand l'utiliser : pour prouver « P ⇒ Q », quand démontrer « non Q ⇒ non P » est plus simple.

Amorce : « Montrons par contraposition. Supposons (non Q) et démontrons (non P). »

Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair :

Par contraposée, supposons $n$ impair : $n = 2k + 1$ . Alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair. La contraposée étant vraie, l'implication initiale l'est aussi.

Disjonction de cas

Quand l'utiliser : quand la propriété se traite différemment selon les situations possibles.

Amorce : « Distinguons deux cas : … »

Montrer que pour tout réel $x$, on a $|x| \geq 0$ :

Distinguons deux cas. Si $x \geq 0$ , alors $|x| = x \geq 0$ . Si $x < 0$ , alors $|x| = -x > 0$ . Dans tous les cas, $|x| \geq 0$ .

Double implication (équivalence)

Quand l'utiliser : pour prouver « P ⟺ Q » : on démontre les deux sens séparément.

Amorce : « Montrons les deux implications. »

Montrer que $x^2 = 1 \iff x = 1$ ou $x = -1$ :

( $\Leftarrow$ ) Si $x = 1$ ou $x = -1$ , alors $x^2 = 1$ . ( $\Rightarrow$ ) Si $x^2 = 1$ , alors $x^2 - 1 = 0$ , soit $(x-1)(x+1) = 0$ , donc $x = 1$ ou $x = -1$ . Les deux sens sont établis.

Récurrence (terminale)

Quand l'utiliser : pour une propriété qui dépend d'un entier $n$ et se transmet de proche en proche. Au programme en terminale.

Structure : Initialisation — Hérédité — Conclusion.

Trois étapes :

Initialisation : on vérifie la propriété au premier rang.
Hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ (hypothèse de récurrence) et on la démontre au rang $n+1$.
Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n$.

Ce qu'il ne faut pas écrire

Confondre exemple et preuve. Vérifier une propriété sur un ou deux cas ne la démontre pas. « Ça marche pour $n = 3$ » ne prouve pas que ça marche pour tout $n$.
Partir de ce qu'on veut prouver. Ne pars pas de l'égalité à démontrer comme si elle était déjà vraie. Pars des hypothèses et avance vers la conclusion.
Sauter des étapes. Si tu écris « donc », l'étape d'avant doit vraiment impliquer celle d'après. En cas de doute, ajoute la justification.
Oublier la conclusion. Termine toujours par une phrase qui répond explicitement à la question posée.
Confondre ⇒ et ⟺. Une implication ne se « retourne » pas toute seule : si tu as besoin des deux sens, démontre-les tous les deux.

Pour aller plus loin

Pour bien écrire les symboles mathématiques de tes démonstrations (fractions, racines, ∈, ⇒…), vois la page « Comment écrire des maths ».

La meilleure façon de progresser, c'est de t'entraîner avec le tuteur, qui te proposera de structurer tes raisonnements au fil des séances.

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